solusi khusus persamaan diferensial Terpisah
solusi khusus persamaan diferensial
Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit:
y’ = P(x)/Q(x), ataudalam bentuk eksplisit:
dy/dx = P(x)/Q(x)
Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas.
awal → Q(y) dy = P(x) dxintegral → ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C, dimana C adalah konstanta sembarang
Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama,
Contoh:
Hanya mengandung variabel y ← (y + 1 / y2 + 4) dy = -x dx → Hanya mengandung variabel x
Contoh soal dan Pembahasan
Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:
1. y2 dy = (x + 3x2) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 → bentuk Implisit
2. xyy’ + x2 + 1 = 0 → bentuk Eksplisit
Pembahasan:
1. y2 dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.
Integralkan kedua ruas
∫ y2 dy = ∫ (x + 3x2) dx
y3/3 + C1 = (x2/2 + x3 + C2)
y3 = (3x2/2 + 3x3 + 3C2 – 3C1)
y3 = 3x2/2 + 3x3 + C ; C = 3C2 – 3C1
Maka solusi umumnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + C
Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan:
C = 216
Solusi khususnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + 216
Orde dan Derajat
Orde (tingkat) dari suatu persamaan diferensial adalah tingkat atau indeks tertinggi dari turunan yang terlibat. Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan yang terlibat. Persamaan diferensial biasa yang berderajat satu kemudian dinamakan persamaan diferensial linear. Persamaan diferensial linear
(dy/dx)2 + x dy/dx + y = 0
berorde satu dan berederajat dua, sedangkan
d2y/dx2 + 2 x (dy/dx)3 + 2 y = x
merupakan persamaan diferensial linear yang berorde dua dan berderajat tiga.
(dy/dx)2 + x dy/dx + y = 0
berorde satu dan berederajat dua, sedangkan
d2y/dx2 + 2 x (dy/dx)3 + 2 y = x
merupakan persamaan diferensial linear yang berorde dua dan berderajat tiga.
Solusi Persamaan Diferensial
Solusi persamaan diferensial adalah suatu fungsi f(x) atau keluarga fungsi f(x) yang memenuhi persamaan diferensial, yaitu jika f(x) disubstitusikan untuk y dalam PD maka akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar.
Solusi umum persamaan diferensial linear adalah suatu keluarga fungsi yang memuat atau mengandung beberapa parameter dan memenuhi persamaannya. Banyaknya parameter dalam solusi umum sama dengan orde persamaaan diferensialnya.
Solusi khusus persamaan diferensial linear adalah fungsi yang merupakan anggota dari keluarga fungsi solusi umum persamaan diferensialnya. Solusi khusus diperoleh dengan mensubstitusikan parameter pada solusi umum oleh suatu konstanta.
0 komentar :
Post a Comment
Silahkan Berkomentar Sesuai Dengan Topik, Jangan Menggunakan Kata-Kata Kasar, Komentar Dengan Link Aktif Tidak Akan Dipublikasikan
ttd
Admin Blog