KangkungGenjer.com

MATEMATIKA MENURUT SEJARAH

Sejarah penemuan dari Matematika Diskrit

Sejarah matematika diskrit muncul dari beragam permasalahan rumit yang mengundang perhatian ke bidang tersebut. Di grafis, banyak penelitian dilakukan untuk membuktikan teorema 4 warna, yang pertama kali muncul pada tahun 1852, berhasil dibuktikan pada tahun 1976 oleh Kenneth Appel serta Wolfgang Haken menggunakan bantuan computer.

Kebutuhan untuk memecahkan kode dikembangkan oleh Jerman pada Perang Dunia II menyebabkan perkembangan kriptografi serta ilmu computer, dengan berkembangnya komputer dijital elektronik dapat di program pertama di Inggris. Pada waktu bersamaan, kebutuhan militer mengundang perkembangan pada penelitian operasi.

Perang Dingin menunjukan bahwa kriptografi tetaplah penting, dengan perkembangan penting seperti kriptografi public-key dikembangkan bertahun-tahun kemudian. Penelitian operasi tetap menjadi alat penting di dalam bisnis manajemen proyek, dengan metode jalur penting dikembangkan pada tahun 1950an. Industri telekomunikasi juga memacu perkembangan perhitungan, terutama pada teori grafis dan teori informasi. Verifikasi sebuah pernyataan logika menjadi wajib di pengembangan perangkat lunak dan sistem keamanan.

Geometri komputasional juga menjadi bagian penting di grafis komputer menjadi bagian permainan video modern dan peralatan desain komputer. Beberapa bagian matematika diskrit seperti teori ilmu komputer, teori grafis dan kombinatoris menjadi penting dalam menghadapi permasalah bioinformatika dalam memahami pohon kehidupan.

Sejarah Graf

Penemu graf adalah L. Euler ( Leonhard Euler ). Graf ditemukan disebuah jembatan Königsberg (tahun1736). Di kota Königsberg (sebelah timur negara bagian Prussia, Jerman), yang sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai Pregal yg mengalir mengintari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai. Ada 7 buah jembatan yg menghubungkan daratan yg dibelah oleh sungai tersebut. Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 1736)
Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg:
Simpul (vertex) à menyatakan daratan
Sisi (edge) à menyatakan jembatan

Definisi Graf
Graf merupakan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:
– V = himpunan tidak - kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v1 , v2 , ... , vn }, dan
– E = himpunan sisi (edges) yang mnghubungkan sepasang simpul = {e1 , e2 , ... , en }
Definisi diatas mengatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong.
Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada.

Unsur - Unsur dari Graf

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
2. Graf tak-berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf takberhingga.

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas dua jenis:

1. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada contoh a,b,dan c adalah graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Pada graf berarah notasi : d(v)
din(v) = derajat-masuk (in-degree)
= jumlah busur yang masuk ke simpul v

dout(v) = derajat-keluar (out-degree)
= jumlah busur yang keluar dari simpul v


Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka :
Tinjau graf G1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10
= 2 ´ jumlah sisi = 2 ´ 5
Tinjau graf G2: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10
= 2 ´ jumlah sisi = 2 ´ 5
Tinjau graf G3: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8
= 2 ´ jumlah sisi = 2 ´ 4
Contoh :
Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah:
(a) 2, 3, 1, 1, 2
(b) 2, 3, 3, 4, 4
Penyelesaian:
(a) tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil
(2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).
(b) dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya genap
(2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.
Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.

Beberapa Graf Sederhana Khusus

a. Graf Lengkap
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.

b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.

c. Graf Teratur
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sbagai graf teratur derajat r.

d. Graf Bipartite
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).

Macam - Macam Graf

B. Graf Hamilton
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

C. Graf Isomorfik
· Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik.
· Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.
· Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.
· Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.

Pengertian Relasi Rekurensi Matematika Diskrit

PERSAMAAN DIFRENSIAL PARSIAL

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan  persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

BENTUK PERSAMAAN DIFRENSIAL PARSIAL

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .
 
I. TAFSIRAN TURUNAN PARSIAL

Andaikan, z = f (x, y) adalah suatu permukaan fungsi dua variabel dari x dan y. Bilamana y diambil konstan, misalnya y = y0. Berkas permukaan tersebut dinyatakan dengan dua persamaan yaitu :

Z = f (x,y) dan y= y0

Berkas lengkungan permukaan tersebut merupakan perpotongan permukaanz = f (x,y) dan bidang y= yo . Jadi turunan parsial f terhadap x, fx (x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva yang diberikan oleh z = f (x,y) dan y=y0 dititik (x0,y0), f (x0,y0 ) dengan zo =f (x0,y0).

Dengan pendekatan yang sama, turunan parsial f terhadap y, fy(x,y) ditafsirkan merupakan gradiean garis singgung kurva pada permukaan, z = f (x,y) dan x=x0 dititik P0 (x0,y0,z0) pada bidang x= x0. Karena setiap turunan merupakan ukuran dari suatu laju perubahan, maka turunan parsial dapat diartikan sebagai laju perubahan. Sehingga fx (x,y) dapat diartikan sebagai laju perubahan dari f (x,y) terhadap x bilamana y konstan. Demikian sebaliknya untuk fy(x,y).

II. TURUNAN PARSIAL FUNGSI DAN VARIABEL

Andaikan diberikan fungsi n variabel dari x1,x2,x3,.......xn dengan persamaan :

W=f (x1,x2,x3,.......xn)

III. TURUNAN PARSIAL ORDE TINGGI

Pada umumnya parsial fungsi dua variabel dari x dan y yakny fx(x,y) dan fy (x,y) masih memuat variabel x dan y. Fungsi turunan parsialfx(x,y) dan fy (x,y) masih dapat diturunkan terhadap x dan y, hasinya disebut turunan parsial orde 2.

PENERAPAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN SAINS

Diferensial parsial digunakan dalam penerapan sains dalam menghitung laju perubahan tekanan, volume dan suhu pada hukum gas ideal.

solusi khusus persamaan diferensial

y’ = P(x)/Q(x), atau
dalam bentuk eksplisit:
dy/dx = P(x)/Q(x)
awal        →  Q(y) dy = P(x) dx
integral   →  ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C,  dimana C adalah konstanta sembarang

Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama,
Contoh:
Hanya mengandung variabel  y  ←  (y + 1 / y² + 4) dy = -x dx   →  Hanya mengandung variabel  x
Contoh soal dan Pembahasan
Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:
1. y² dy = (x + 3x²) dx, bila mana  x = 0 dan y = 6 →  bentuk Implisit
2. xyy’ + x² + 1 = 0 → bentuk Eksplisit
Pembahasan:
1. y² dy = (x + 3x²) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.
Integralkan kedua ruas
∫ y² dy = ∫ (x + 3x²) dx
y³/3 + C1 = (x²/2 + x³ + C2)
y³ = (3x²/2 + 3x³ + 3C2 – 3C1)
y³ = 3x²/2 + 3x³ + C    ; C = 3C2 – 3C1
Maka solusi umumnya adalah  :  y³ = 3x²/2 + 3x³ + C 
Menghitung konstanta  C, kita menggunakan persyaratannya bilamana  x = 0  dan  y = 6, maka akan menghasilkan:
C = 216
Solusi khususnya adalah :   y³ = 3x²/2 + 3x³ + 216

Orde dan Derajat

Solusi Persamaan Diferensial