» Unlabelled » SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

 

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2.  Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.
(Z,+) merupakan sebuah semigroup                                                                        ð

Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.
(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel                                                               ð

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2.  Operasi * bersifat asosiatif.
3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .

Contoh 1.7.
(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan .    ð

Jika operasi biner pada monoid (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,*) disebut juga monoid abel.

Contoh 1.8.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abel                                          ð

1.3.3. GROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2.  Operasi * bersifat asosiatif.
3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .
4.  Setiap anggota S memiliki  invers untuk operasi * dan invers tersebut merupakan anggota S  juga.

Contoh 1.9.
(Z,+) merupakan sebuah group                                                                                 ð

Jika operasi biner pada group (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka group (S,*) disebut juga group abel.

Contoh 1.10.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abel                                             ð

Soal Latihan 1.2.
1.    Tunjukkan bahwa himpunan bilangan kelipatan dua membentuk group di bawah operasi penjumlahan.
2.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup dan a sebuah anggota A. Pada himpunan A tersebut didefinisikan operasi biner  dimana  x  y = x * a * y. Tunjukkan bahwa operasi  tersebut bersifat asosiatif.                                                                                                                                         [LIU]

3.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup komutatif. Tunjukkan bahwa jika   a * a = a dan b * b = b, maka  (a * b) * (a * b) = a * b.                                                                                                      [LIU]
Categories:
Pin It

Related Post:



0 komentar :

Post a Comment

Silahkan Berkomentar Sesuai Dengan Topik, Jangan Menggunakan Kata-Kata Kasar, Komentar Dengan Link Aktif Tidak Akan Dipublikasikan

ttd

Admin Blog