SUBGROUP aljabar
1.3.4. SUBGROUP
Misalkan (G,*) sebuah group dan H Í G.
Jika (H,*) membentuk group, maka (H,*)
merupakan subgroup dari group (G,*).
Contoh 1.11.
(Z,+)
merupakan sebuah group. Misalkan A2
={ x | x = 3n,
n Î
Z }. Jelas bahwa A2 Í Z. Karena (A2,+) membentuk group, maka
(A2,+) merupakan subgroup dari group (Z,+). ð
Contoh 1.12.
Diketahui Z4 = {0, 1, 2, 3} dan operasi
biner Å
didefinisikan sebagai
.
(Z4 , Å)
adalah sebuah group.
Misalkan B = {0, 2}. Jelas bahwa B Í Z4 . (B , Å)
merupakan subgroup dari group (Z4 , Å).
Sedangkan C = {0, 1, 2}, yang
juga merupakan himpunan bagian dari Z4 , bukan merupakan subgroup dari group Z4
. ð
1.3.5. SUBGROUP SIKLIK
Misalkan
(G,*)
sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î
G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh
a adalah himpunan
gp(a)
= { ... , a-2 , a-1
, a0 , a1 , a2 , ... }
=
{ an |
n Î Z }.
Dimana a0 = e. Dalam hal
ini berlaku pula hukum eksponen, am * an = am+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh, a4 * a2 = a6 , a1 * a1 = a2 .
Untuk n Ï Z+ , an dapat dicari dengan
mengingat bahwa a0 = e dan hukum eksponen a0 = a1 * a-1. Berdasarkan kedua hal tersebut, maka a-1 adalah invers dari
a untuk operasi * dan
a-2 , a-3 dan seterusnya dapat dicari.
Order dari subgroup siklik
gp(a) = { an |
n Î Z } adalah integer positif m
terkecil sedemikian hingga am
= e.
Contoh 1.13.
Perhatikan
group (Z4, Å)
dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0.
Subgroup siklik yang dibangun oleh 2 Î Z4 adalah gp(2) = { 2n
| n Î Z } = {0, 2}.
Order dari gp(2) tersebut adalah 2. ð
Jika
terdapat x Î G sedemikian hingga gp(x) = G, maka group G disebut group siklik
dan elemen x
tersebut dinamakan generator dari G.
Contoh 1.14.
Perhatikan
group (Z4,Å)
dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh 1 Î Z4 adalah gp(1) = { 1n | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z4,
maka (Z4,Å)
merupakan group siklik dan 1 merupakan generator. ð
1.3.6. SUBGROUP NORMAL
Misalkan
(G,*) sebuah
group dan (H,*) merupakan
subgroup dari group (G,*).
Koset kiri dari H adalah himpunan a*H = { a * h |
" h Î H } dan koset kanan dari H
adalah H*a = { h * a |
" h Î H }, untuk setiap a Î G.
Contoh
1.15.
(Z4
, Å) adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup
dari (Z4 , Å).
Koset kiri dari B adalah
a Å B untuk
setiap a Î Z4 : 0 Å B = {0 , 2} , 1 Å B = {1 , 3} , 2 Å B = {0 , 2} , dan 3 Å B = {1 , 3}. Jadi, koset kiri dari B
adalah {0,2} dan {1,3}. Koset kanan dari
B adalah B Å a untuk setiap a Î Z4 : B Å 0 = {0 , 2}, B Å 1 = {1 , 3} , B Å 2 = {0 , 2} , dan B Å 3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B
adalah {0,2} dan {1,3} ð
Suatu subgroup (H,*) dari group (G,*) merupakan subgroup normal jika untuk
setiap a Î G berlaku a*H = H*a
(koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).
Contoh 1.16.
B =
{0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4 , Å) adalah subgroup normal dari (Z4
, Å), karena
untuk setiap a Î Z4 , a Å B = B Å a.
ð
Himpunan koset dari
subgroup normal H pada group (G, *) membentuk group kuosien di bawah
operasi perkalian koset.
Contoh 1.17.
Koset dari B = {0 , 2}
yang merupakan subgroup dari (Z4,Å) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}. Himpunan
{{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian
koset.
|
Ä
|
{0 , 2}
|
{1 , 3}
|
|
{0 , 2}
|
{0 , 2}
|
{1 , 3}
|
|
{1 , 3}
|
{1 , 3}
|
{0 , 2}
|
ð
Soal Latihan 1.3.
1.
Tentukan
subgroup siklik yang dibangun oleh 3
dari group (Z,+).
2.
Operasi
biner Ä dari group (V, Ä) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.
|
Ä
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
e
|
e
|
a
|
b
|
c
|
|
a
|
a
|
b
|
c
|
e
|
|
b
|
b
|
c
|
e
|
a
|
|
c
|
c
|
e
|
a
|
b
|
a.
Tentukan
subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya.
b.
Apakah
V merupakan group siklik ? Jelaskan !
3. Himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan himpunan bagian dari
himpunan bilangan bulat Z. Diketahui bahwa (Z,+) adalah sebuah group abel.
Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan subgroup normal dari
group (Z,+). Jika ya, tentukan koset
kiri dari himpunan tersebut.
0 komentar :
Post a Comment
Silahkan Berkomentar Sesuai Dengan Topik, Jangan Menggunakan Kata-Kata Kasar, Komentar Dengan Link Aktif Tidak Akan Dipublikasikan
ttd
Admin Blog