BILANGAN REAL

BILANGAN REAL

sifat-sifat penting dari sistem bilangan real ℝ , seperti sifat-sifat

aljabar, urutan, dan ketaksamaan. Selanjutnya, akan diberikan beberapa pengertian
seperti bilangan rasional, harga mutlak, himpunan terbuka, dan pengertian lainnya yang
berkaitan dengan bilangan real.

Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam ℝ

Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat ℝ , diberikan terlebih dahulu tentang struktur
aljabar dari sistem bilangan real. Akan diberikan penjelasan singkat mengenai sifat-sifat
dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar lain yang dapat diturunkan
dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi aljabar abstrak, sistem
bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi biner penjumlahan dan
perkalian biasa.

Sifat-sifat Aljabar ℝ
Pada himpunan semua bilangan real ℝ terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan
“+” dan “.” yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan perkalian
(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:
(A1) a + b = b + a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif penjumlahan)
(A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif penjumlahan)
(A3) terdapat 0Îℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen nol)
(A4) untuk setiap aÎℝ terdapat -aÎℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan
(-a) + a = 0 (eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan)
(M1) a ×b = b× a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif perkalian)
(M2) (a ×b) × c = a × (b × c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif perkalian)

(M3) terdapat 1Îℝ sedemikian hingga 1× a = a dan a ×1 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen unit 1)
(M4)untuk setiap aÎℝ , a ¹ 0 terdapat 1a
Îℝ sedemikian hingga
1
a 1
a
  ×  =
 
dan
1
a 1
a
    × =
 
(eksistensi invers perkalian)
(D) a × (b + c) = (a ×b) + (a ×c) dan (b + c) ×a = (b ×a) + (c × a) untuk semua a,b,cÎℝ
(sifat distributif perkalian atas penjumlahan)
Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Sifat (A1)-(A4) menjelaskan sifat
penjumlahan, sifat (M1)-(M4) menjelaskan sifat perkalian, dan sifat terakhir
menggabungkan kedua operasi.
Selanjutnya, diberikan beberapa teorema tentang elemen 0 dan 1 yang telah
diberikan pada sifat (A3) dan (M3) di atas. Juga akan ditunjukkan bahwa perkalian
dengan 0 akan selalu menghasilkan 0.