KOMBINATORIK aljabar
KOMBINATORIK
2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI
Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.
Contoh 2.1.
Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan 3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan 3 2 adalah sebuah permutasi-2 (2-permutation) dari S ð
Banyak permutasi-r dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai P(n,r) dimana
P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1).
Jika r = n , maka
P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1).
= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1
= n !
atau ditulis Pn = n !
Contoh 2.2.
P(8,3) = 8. 7. 6 = 336
= 
= 
ð
= ðRumus umum : n . (n-1) . (n-2) = 
P(n,r) = 
Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan tak berurutan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari himpunan tersebut.
Contoh 2.3.
Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S. ð
Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai C(n,r) atau 
atau 
.
atau .Rumus umum : 
Jika r = n, maka 
Contoh 2.4.
Misalkan S = {1, 2, 3, 4}.
Kombinasi-4 dari S adalah { 1, 2, 3, 4 } ; 
.
.Kombinasi-3 dari S adalah { 1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4} ; 
.
.Tentukan 
ð
ðSoal Latihan 2.1.
1. Tunjukkan bahwa P(n,n-1) = P(n,n).
2. Nomor telephon internal dalam sebuah kampus terdiri dari lima angka dimana angka pertama tidak sama dengan nol. Banyaknya nomor telephon berbeda yang dapat disusun di kampus tersebut adalah ......... .
3. Pada sebuah lingkungan RT, penduduknya berencana menyelenggarakan acara peringatan kemerdekaan Indonesia. Demi lancarnya kelangsungan acara tersebut, mereka bersepakat untuk menyusun sebuah kepanitiaan yang beranggotakan 12 orang. Jika dalam lingkungan tersebut terdapat 16 pasangan suami istri, berapa pilihan yang mereka miliki untuk membentuk kepanitiaan yang beranggotakan 4 wanita dan 8 pria ?
Soal Latihan 2.2.
1. Sebuah himpunan yang tidak kosong dan mengandung 26 anggota memiliki himpunan bagian yang mengandung 6 anggota sebanyak ............ .
2. Tunjukkan bahwa C(n,n-r) = C(n,r) .
Soal Latihan 2.3.
1. Seorang mahasiswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian Matematika Diskrit.
a. Berapa banyak pilihan yang ia miliki ?
b. Berapa banyak pilihan yang ia miliki jika ia harus menjawab 3 soal pertama.
2. Jika P (n,k) menyatakan permutasi k dari n obyek dan C (n,k) menyatakan kombinasi k dari n obyek , maka pernyataan yang benar adalah :
a. C (n ,k ) – P (n ,k ) = ½ C (n ,k ).
b. C (n ,k ) = P (n ,k ) . P (k ,k ).
c. P (n ,k ) = C (n ,k ) . P (k ,k ).
d. P (n , n – k ) = C (n ,n – k ) P (k ,k ).
2.2. KOMBINASI PADA HIMPUNAN DENGAN PENGULANGAN
Sebuah himpunan disebut himpunan ganda (himpunan dengan pengulangan) jika setiap anggotanya berulang.
Contoh 2.5.
1). A = { 3.a, 2.b, 5.c } adalah sebuah himpunan dari 3 elemen berbeda dengan pengulangan hingga.
2). B = { ~.3, ~.5, ~.7, ~.9 } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan tak hingga.
3). C = { ~.p, 10.q, 3.r, ~.s } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan.
ð
Misalkan A sebuah himpunan ganda berpengulang tak hingga dengan k anggota berbeda. Banyaknya kombinasi-r pada A dinyatakan sebagai :
Contoh 2.6.
Diketahui S = { ~.a } . Banyaknya kombinasi-5 pada S adalah :
ð
Soal Latihan 2.4.
1. Tentukan kombinasi-5 dari B = { ~.a, ~.b} .
2. Banyaknya kombinasi-8 dari C = { ~.a, ~.b, ~.c } .
3. Banyaknya kombinasi-8 dari himpunan { ~.p, ~.q, ~.r } yang mengandung paling sedikit 4 buah q adalah ........... .
4. Hitung banyaknya kombinasi 10 dari himpunan { ~.1, ~.2, ~.3, ~.4 } yang
a. mengandung paling sedikit 4 buah 3.
b. mengandung paling sedikit 5 buah 2.
c. mengandung paling sedikit 4 buah 3 dan 5 buah 2.
d. tidak mengandung 2 dan 3.
0 komentar :
Post a Comment
Silahkan Berkomentar Sesuai Dengan Topik, Jangan Menggunakan Kata-Kata Kasar, Komentar Dengan Link Aktif Tidak Akan Dipublikasikan
ttd
Admin Blog