SOLUSI HOMOGEN DARI RELASI REKURENSI
SOLUSI HOMOGEN DARI RELASI REKURENSI
Solusi homogen dari sebuah relasi rekurensi linier dapat dicari dengan mengambil harga f(n)=0. Solusi homogen dari sebuah persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan dinyatakan dalam bentuk Aan , dimana a adalah akar karakteristik dan A adalah konstanta yang harganya akan ditentukan kemudian untuk memenuhi syarat batas yang diberikan. Dengan substitusi bentuk Aan kepada an pada persamaan homogen C0 an + C1 an-1 + C2 an-2 + … + Ck an-k = 0 , maka diperoleh
C0 Aan + C1 Aan-1 + C2 Aan-2 + … + Ck Aan-k = 0.
Dengan penyederhanaan pada persamaan tersebut, maka diperoleh
C0 an + C1 an-1 + C2 an-2 + … + Ck an-k = 0
Persamaan ini merupakan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial yang diberikan. Jika, bila adalah akar karakteristik dari persamaan karakteristik ini, maka Aan akan memenuhi persamaan homogen. Jadi, solusi homogen yang dicari akan berbentuk Aan.
Bila persamaan karakteristik memiliki sebanyak k akar karakteristik berbeda (a1 ¹ a2 ¹ … ¹ ak) , maka solusi homogen dari relasi rekurensi yang dimaksud dinyatakan dalam bentuk
an(h) = A1 a1n + A2 a2n + … + Ak akn
dimana ai adalah akar karakteristik dari persamaan karakeristik yang diperoleh, sedangkan Ai adalah konstanta yang akan dicari untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan.
Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
Penyelesaian :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0
adalah a2 + a - 6 = 0 atau (a + 3) ( a - 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1 a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisi batas b0 = 0 dan b1 = 1 , maka
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah
bn(h) = 
(-3)n + 
. 2n ð
(-3)n + . 2n ðJika akar karakteristik a1 dari persamaan karakteristik merupakan akar ganda yang berulang sebanyak m kali, maka bentuk solusi homogen yang sesuai untuk akar ganda tersebut adalah
(A1 . nm-1 + A2 . nm-2 + … + Am-2 n2 + Am-1 . m + Am ) a1n
dimana Ai adalah konstanta yang nantinya akan ditentukan untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan.
Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .
Penyelesaian :
Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a + 2) ( a + 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda,
maka solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n ð
Contoh 5.4.
Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi
4 an - 20 an-1 + 17 an-2 – 4 an-3 = 0.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya : 4 a3 - 20 a2 + 17 a - 4 = 0
akar-akar karakteristiknya ½ , ½ dan 4
solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A3 . 4n ð
Soal Latihan 5.2.
1. Tentukan akar karakteristik dari relasi rekurensi an = 6 an-1 .
2. Tentukan akar karakteristik dari relasi rekurensi an = an-1 + 3 an-2 .
3. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi berikut :
a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 dengan syarat batas a0 = 0 dan a1 = 3.
b. an – 4 an-1 + 4 an-2 = 0 dengan syarat batas a0 = 1 dan a1 = 6.
c. an + 6 an-1 + 9 an-2 = 3 dengan syarat batas a0 = 1 dan a1 = 1.
d. an - 2 an-1 + 2 an-2 – an-3 = 0 dengan a0 = 1, a1 = 1 dan a2 = 1 .
4. Diketahui a0 = 0 , a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 12 memenuhi relasi rekurensi
ar + C1 ar-1 + C2 ar-2 = 0. Tentukan fungsi ar .
0 komentar :
Post a Comment
Silahkan Berkomentar Sesuai Dengan Topik, Jangan Menggunakan Kata-Kata Kasar, Komentar Dengan Link Aktif Tidak Akan Dipublikasikan
ttd
Admin Blog